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어떤 함수에 대하여 그 연속성에 대하여 알아 봅니다.
어떤 점 x = c 에서의 연속을 알아봅시다.
어떤 주어진 함수(x) 가 다음의 세 조건 1), 2), 3) 을 만족할 때
함수(x) 는 x = c 에서 연속입니다.
라는 말을 합니다.
조건 1) 함수(x) 값이 x = c 에서 존재합니다. 즉,
함수(x) 가 x = c 에서 정의
조건 2) x = c 에서의 함수(x)에 대한 극한값이 존재합니다. 즉,
lim 함수(x) = 존재
x->c
조건 3) 함수(x) 에 대한 극한값과 x = c 일 때의 함수(c) 값이
일치합니다. 즉,
lim 함수(x) = 함수(c)
x->c
이것을 조금 더 간단하게 정의할 수 있습니다.
주어진 함수(x) 에 대하여 x = c 에서 양쪽의 극한값 즉,
좌극한과 우극한이 존재하면서
좌극한 값이
lim 함수(x) = 함수(c)
x->c-
우극한 값이
lim 함수(x) = 함수(c)
x->c+
이면
함수(x) 는 x = c 에서 연속 입니다.
이제 어떤 열린 구간에서의 연속에 대하여 알아봅니다.
어떤 함수(x) 가 어떤 주어진 열린 구간 (P1, P2) 에서
각각의 x 에 대하여 x = c 에 대하여 연속이면
즉, 각각의 x 에 대하여 x = c 에서 양쪽의 극한값이 같다면
함수(x) 는 구간 ( P1, P2 ) 에서 연속입니다.
그러면 이제 어떤 닫힌 구간에서의 연속에 대하여 알아봅니다.
주어진 함수(x) 에 대하여
1) 열린 구간 (P1, P2) 에서 연속이다.
2) P1 의 오른쪽에서 연속이다.
p1 의 우극한 값이 함수(p1) 값과 같다.
3) P2 의 왼쪽에서 연속이다.
p2 의 좌극한 값이 함수(p2) 값과 같다.
이면 함수(x) 는 닫힌 구간 [P1, P2] 에서 연속입니다.
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