삼각 함수와 그 극한에 대해 알아봅니다.
삼각 함수는 주로 각도를 다루는 함수입니다.
싸인과 코싸인 같은 것을 말합니다.
강의에서 6 개를 설명하고 있군요
이것은 강의를 직접 확인해 보시기 바랍니다.
연속과 정의역에 대하여
그 역함수에서 연속에 대하여 설명합니다.
어떤 연속 함수에서 그 역함수가 존재할 때
그 역함수 역시 연속입니다.
예를 들어
ex 는 연속이며, 그 역함수 ln x 가 존재합니다.
이때 그 역함수 ln x 역시 연속입니다.
이제 이 함수들에 대하여 극한을 계산하는 방법을 살펴 봅니다.
중요한 것이 있는데 그것은
sin x
lim ------- = 1
x->0 x
으로 정의한다는 것입니다.
삼각함수와 그 극한 값을 다룰 때 이것은 매우 자주,
빈번하게 이용됩니다.
그런데 생각해 봅시다. 함수
sin x
------
x
는 0 에서 정의할 수 없습니다.
그런데 이것을 어떻게 계산할까요?
네, 그렇습니다.
리차드 교수님이 말했습니다.
"We squeeze!"
그리하여 c 를 포함하는 어떤 열린 구간에서
g(x) ≤ f(x) ≤ u(x)
라 합시다. 그런데 x 는 c 가 아닙니다.
그리고
lim g(x) = 어떤 값 = lim u(x)
x->c x->c
이라 하면
lim f(x) = 어떤 값
x->c
인 것입니다.
이것을 반경이 1 인 1/4 원이라 생각합시다.
| . T
| . *
| . . |
| . P |
| . | . |
| . | . |
| . | .|
| . | |
| . x | |
.-----------------|-----.--
O Q A
선분 OP 의 길이가 1 이라 합시다.
그려면 선분 OA 의 길이는 역시 1 입니다.
이것은 원이니까 그렇죠?
각 POA 를 x 라 하면,
그러면 OQ 의 길이는 cos x 입니다.
그리고, PQ 의 길이는 sin x 입니다.
그러면
sinx
------
cosx
를 생각할 수 있습니다.
그것은 무엇입니까? 그것은 곧 AT 입니다.
이제 섹터 OAP 의 넓이를 생각해 봅시다.
이것은 삼각형 OAP 의 넓이 보다는 크며
삼각형 OAP 의 넓이 보다는 크며
삼각형 OAT 보다는 작을 것입니다.
이것을 생각해 봅시다.
삼각형 OAP ≤ 섹터 OAP ≤ 삼각형 OAT
입니다. 그렇죠?
그러므로
1 x 1 sin x
--- * 1 * sin x ≤ ------ * pi * 12 ≤ --- * 1 * ------
2 2 pi 2 cos x
입니다. 따라서 간단히 하면
sin x
sin x ≤ x ≤ ------
cos x
입니다. 그렇죠? 이제 sin x 로 나누어 봅시다.
그러면
x 1
1 ≤ ------ ≤ ------
sin x cos x
이 되는 것입니다. 이제 역수를 취해 봅시다.
sin x
cos x ≤ ------ ≤ 1
x
이제 lim 를 취해보면
sin x
1 ≤ lim ------- ≤ 1
x->0 x
즉, 1 임을 알 수 있습니다.
참고적으로 코싸인에 대해서 알아보면
1 - cos x
lim ------- = 0
x->0 x
입니다.
1 - cos x
lim ------- = 0
x->0 x
인 것을 다음과 같이 보일 수 있습니다.
1 - cosx 1 + cos x
= lim ---------- -----------
x->0 x 1 + cos x
이제 이것을 정리하면
1 - cos2x
= lim ----------
x->0 x ( 1 + cos x )
입니다. 그런데
1 - cos2x = sin2x
입니다. 그렇죠?
그래서
sin2x
= lim ----------
x->0 x ( 1 + cos x )
으로 쓸 수 있습니다. 이것은 다시
sin x sin x
= lim ------- -------------
x->0 x ( 1 + cos x )
이렇게 쓸 수 있는데 이 값을 계산하면 곧 0 입니다.
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