MathValue

미분의 정의

    그렇습니다! 

    뛰어난 여러분들한테 있어서 이제 미분 계수라는 것과 그것을 

    계산하여 보라 라는 문제들이 있다면

    그런 문제들 쯤은 여러분들에게 이렇게 쉬운 문제일 것입니다!

    
    그런데 이렇게 쉬운 문제들을 안 풀어볼 이유 

    그런 이유 있을까요? 네, 그런 이유 없을 것입니다.

    
    그리하여 계속하여 이 문제를 살펴 봅시다.

    
    그래서 이렇게 a 의 값을 다음과 같이 변수 x 로 바꿔 쓸 수 있다는

    것입니다. 즉, 

    
            y' :  a -> 6 a    ==>    y' :  x -> 6 x

    
    그런데 이 결과를 가만히 살펴 보니까 여러분들은 뭔가 

    아주 재미있는 것을 발견할 수 있을 것입니다.

    아주 재미있는 그것은 과연 무엇일까요?

    힌트를 주자면, 그것은 a 와 x 에 있습니다.

    즉, a 의 변하는 값과 x 의  값은 

    서로 일치하는 것을 여러분들은 볼 수 있을 것입니다. 

        
    그러면 a 를 x 로 바꿔 쓴들 그 값들은 다 같으니까, 

    괜찮을 것 같아 보입니다. 아니 그렇습니까? 여러분?

    
    그런데 아니라구요?

    그런데 어떤 여러분들은 그것이 아니라고 그렇게 생각 할 수 있습니다.

    뭐, 그렇게 생각할 수 있습니다. 그런 생각을 하는 것은

    매우 정상적인 것입니다.

    그런데 그렇게 생각하는 분들께 물어봅니다.

    
        "왜 그렇게 생각합니까?
 
        왜요?"

    
        "그러나 a 는 일정한 값 즉, 그것은 컨스턴트 입니다.

        그렇죠?"

        
        "네, 그렇습니다. a 는 일정한 값의 컨스턴트 입니다.

        그런데요?"


        "그러나 x 는 변수 잖아요?

        
        "그렇군요!"

        
        "그런데 그렇게 멋대로 바꿔 버리면 어떻게 합니까?"

        
        "그렇군요!"


        "그러니까 그렇게 멋대로 그것을 바궈 버리면 안 됩니다!"


        "그렇습니다. 그렇게 멋대로 바꾸면 안 됩니다."



    네, 이런 말, 이런 생각 할 수 있습니다.

    그런데 여러분! 그렇게 바꿀 수 없다 생각하면 바꿀 수 없습니다!

    그러나 여러분! 바꿀 수 있다 그렇나 생각하면 바꿀 수 있게 됩니다!

    
    그러니까 다시 말해서 어떤 컨스턴트 값을 갖는 a 를 임의의 값을 

    갖는 변수 x 로 바꾼다 하여서 아무런 문제될 것이 없습니다. 그렇죠?

    
        "에이, 그런게 어딨어요!"

    
    그러니까 결과 값 역시 달라질 것이 없다는 그런 말입니다.

    
        "잘 생각해 보면 될 수 있을 것 같습니다, 그렇죠?"

        
    
    그런데 이 때 x = a 라 할 것이 아니라 a 의 값을 

    a = 1, 2, 3, ...  으로 하면서 그 값을 바꿔 본다면?

    그러면 어떨까요? 

    그러면 분명 재미있을 것 같습니다. 아니 그렇습니까?

    그렇게 값들을 바꿔 보면서 같이 생각하여 봅시다. 

    
    그러면 1, 2, 3, ... 

    이 값들에 의해서 x 값은 어떻게 변화 할까요, 여러분?

    주어진 함수 y = 3x2 에서 생각하여 볼까요?

    
    주어진 함수 y = 3x2 에 대하여 x = a 일 때 

    그것의 미분 계수는 무엇이었습니까?


    
        그 미분 계수는 6 a 입니다.
    
    그렇습니다! 그 미분 계수는 바로 6 a 이었습니다.

    그러므로

    
        a 의 값이 1 일 때 그러니까  x = 1 일 때

        이 때, 미분 계수 6a 에서 a = 1 이므로 
        그 값은 6 입니다. 

        
        a 의 값이 2 일 때 즉, x = 2 일 때,

        6a 에서 a = 2 이므로 그 값은 12 입니다.

        
        a 의 값이 3 일 때 즉 x = 3 일 때,

        그래서 그 값은 18 입니다.


        ......

    
    이렇게 여러분들은 계산할 수 있을 것 입니다.

    
    
        "그렇군요!"

        
        
        "그렇죠?"


    
    그리하여 a 의 값을 변수 x 로 바꿔서 쓸 수 있다는 것입니다. 즉, 

    
            y' :  a -> 6 a    ==>    y' :  x -> 6 x
    
    
    이렇게 원래 특정한 값을 표현하는 a 의 함수였던 것을 

    임의 값을 표현하는 변수 x 로 바꿔서 x 의 함수로 바꿔 표현한

    함수 이것을 바로 도함수 라 합니다.

    한자로 써보면 그것은 導函數 라 씁니다.

    잉글리쉬로 말하여 보면, 그것은 derivative, derivate 일 것입니다. 그렇죠?

    
    
    그러면 도함수, derivative 대하여 그 정의를 생각하여 보겠습니다.

    
    x 의 함수 y 에 대하여 x 의 증분에 대한 y 의 증분의 

    비, △y/△x 의 극한값을 을 생각할 수 있습니다. 즉, 

	
                  △y         f( x + △x ) - f(x)
            lim   ---  = lim ---------------------
          △x->0  △x   △x->0        △x


    를 y 의 ( x 에 대한 ) 도함수라 하며 이것을 

        y 를 x 에 대하여 미분한다.
		
    아니면 
    
        x 에 대하여 y 를 미분한다.

    는 그런 표현을 씁니다. 
    
    즉, 미분이라 하는 것은 이 값을 계산하는 것, 

    그것이 바로 미분하는 것입니다.


    물론, 이것을 다음과 같이 더 간락하게 표현할 수 있습니다.


                              dy           d
        y'      f'(x)        ----         --- f(x)
                              dx           dx

    이런 심볼들을 쓰는 것은 매우 편리합니다.

    앞으로 여러분들은 이런 심볼들은 이제 아주 빈번하게 쓰일 것입니다.

    그리고 여러분들은 기호들을 틀림없이 좋아하게 될 것입니다!

    아니라구요?

    아니 아니 좋아 할 것입니다.

    
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