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미분하여 미분 계수를 계산하자!
어떤 주어진 함수 y 를 미분하는 것, 아니면 그 함수를 미분한 값을
간단한 심볼 즉, 바로 y' 으로 간략하게 표현 할 수 있다
는 것에 대해서는 앞에 글에서 이미 설명한 바 있습니다.
실제로 수학에서 미분을 할 때에 있어서 이렇게 y' 와 같이
간략하게 쓰는 이런 표현들이 정말 빈번하게 쓰입니다.
그러니까 여러분들은 이미 미분을 하고 있는 것입니다.
그러면 이제 실제로 어떤 특정한 함수들에 대하여 그 함수들을
진짜 미분하는 방법과 그것을 이용하여 미분 계수를 계산하는 방법을
알아 보겠습니다.
다음의 예를 통해서 그 방법을 살펴 보고, 같이 생각하여 봅시다.
[예]
함수 y = x2 + x 를 미분하시오.
그런 다음 x = 2 일 때의 미분 계수를 구하시오.
이것은 실은 x = 2 일 때, 함수 y x2 + x 를 미분하여
미분 게수를 구하는 문제입니다.
그런데 주어진 이 문제에서는
"y 를 미분한 다음에 미분계수를 구하라."
하였습니다. 그러면 간단하게 이것을 미문한 다음에
x = 2 일 때, 그 미분계수를
구하면 그것은 매우 간단할 것입니다.
그러나 우리는 이 주어진 문제를 따라서 함수 y 를 미분을 한 다음에
미분 계수를 계산 하기에 앞서서
그 값을 비교해 보기 위하여, 우선 x = 2 일 때의 미분 계수를
계산하여 보겠습니다. 그런 다음에 미분의 정의에 의해서
미분을 한 다음에 그 결과를 이용하여 미분 계수를 계산하여
보겠습니다.
그러나 여러분들은
"그러나 간단한 것을 왜 그렇게 어렵게 풀죠?"
"그러게? 간단하게 풀 수 있는 것을."
라는 그런 물음들을 여러분들은 할 수 있을 것입니다.
네, 그런 물음들을 가질 수 있습니다.
네 그렇습니다. 물론 그렇게 쉽게 풀 수 있습니다.
그러나, 이제 처음 설명했기 때문에 그 값을 비교해 보기 위해서
그렇게 하여 보는 것입니다.
그러니까 여러분들은 이 결과를 살펴 본 다음에
그 값을 비교하여 보십시오.
y = x2 + x 에 대하여 x = 2 일 때의 미분계수는
△y ( 2 + △x )2 + ( 2 + △x ) - (2)2 - 2
lim --- = lim ----------------------------------------
△x->0 △x △x->0 △x
그러므로 그 값을 계산하여 보면 그 값은
4△x + △x2 + △x
lim ----------------------
△x->0 △x
= lim ( 5 + △x ) = 5
△x->0
입니다.
그러면 이제 미분의 정의를 이용하여 y = x2 + x 를
그 정의를 이용하여 직접 미분하여 y' 을 찾은 다음에 그 값에
x = 2 를 대입하여 미분 계수를 계산하여 보겠습니다.
y = x2 + x 를 그 정의에 의하여 직접 미분합니다.
그렇게 미분하여 보면 그것은 이렇습니다. 즉,
△y ( x + △x )2 + ( x + △x ) - (x)2 - x
lim --- = lim ----------------------------------------
△x->0 △x △x->0 △x
입니다.
이제 이것을 풀어봅시다. 그러면
x2 + 2 x△x + △x2 + △x - (x)2
lim ---------------------------------
△x->0 △x
2 x△x + △x2 + △x
= lim ----------------------
△x->0 △x
인 것입니다. 이제 △x 를 약분하여 정리하면
lim ( 2 x + △x + 1 )
△x->0
입니다. 따라서 y 를 미분한 값은 2x + 1 입니다. 즉,
y' = 2x + 1
입니다.
이제 이 y' 의 값에 x = 2 를 대입 합니다.
그러므로 x = 2 에서의 미분 계수는 5 입니다.
따라서 x = 2 에서 그 정의에 의해 직접 계산한 미분 계수와
함수 y 를 미분하여 계산한 결과에 x = 2 를 대입하여 찾은 미분 계수들이
서로 일치하는 것을 확인할 수 있을 것입니다.
어떻습니까? 정말 흥미진진 하죠?
네? 그러나 정말 그렇게 흥미진진 그런 것은 아니라구요?
그러면 무엇일까요? 그냥 조금 흥미롭다구요?
아니라구요? 그렇게 안 흥미롭다구요??
네, 물론 그럴 수 있어요. 그렇게 흥미로울 필요는 없어요.
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