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미분의 정의에 대한 문제 풀이
이것은 앞에서 여러분들을 위하여 제시한 쉬운 문제들의 문제들과
그 자세한 풀이들 입니다.
여러분들은 각각의 주어진 문제 풀이들을 여러분들이 직접 풀어 본 것과
서로 비교해 보면서 그렇게 확인하여 보십시오.
그렇게 다음 주어진 풀이들을 확인하여 보면서
여러분들은 미분하는 방법을 보다 더 확실하게 익힐 수 있을 것입니다.
"그러면 여러분들은 확실하게 실력을 키울 수 있을 것이라
그렇게 확신 합니다!"
물론, 정말 그렇게 확신할 수는 없습니다.
그러나
"여러분들은 보다 확실하게 이해는 할 수 있을 것이라
그렇게 생각은 합니다!"
그러니까 ...
쉬운 문제들과 그 풀이들을 살펴 보겠습니다.
1)
이 문제는 극한 값으로 표현하는 미분의 정의를 써서
y = x3 을 미분한 다음에 x = 2 일 때
그 미분 계수를 계산 하는 문제 입니다.
[풀이]
미분의 정의를 써서 y 를 미분 합니다.
문제에서 '미분의 정의'를 써서 미분하라 했으므로
여러분들은 미분의 정의로 미분 합니다.
미분의 정의로 미분하여 보면, 그것은
( x + △x )3 - (x)3
y' = lim ---------------------
△x->0 △x
3x2△x + 3x△x2 + △x3
= lim -----------------------
△x->0 △x
= lim ( 3x2 + 3x△x + △x2 ) = 3x2
△x->0
입니다.
따라서 x = 2 일 때의 미분 계수는 12 입니다.
2)
구간 [1, 3] 에서의 y = x2 - 3x + 1 의 평균 변화율이
x = c 일 때의 y 의 미분 계수와 같은 값을 가질 때에
1 ≤ c ≤ 3 인 c 의 값을 찾는 문제입니다.
[풀이]
평균 변화율을 계산하여 봅니다. 평균 변화율은
32 - 3(3) + 1 - 12 + 3 - 1
평균 변화율 = ---------------------------- = 1
2
입니다.
그러면 이제 주어진 함수 y 를 미분하여 미분계수를 계산합니다.
( x + △x )2 - 3 (x + △x ) + 1 - (x)2 + 3 x - 1
y' = lim -------------------------------------------------
△x -> 0 △x
= lim ( 2x + △x - 3 ) = 2x - 3
△x -> 0
2c - 3 = 1, c = 2
따라서 c = 2
3)
함수 y = x2 - 3 x + 5 를 미분하여 보는 간단하고
쉬운 문제 입니다.
[풀이]
(x + △x)2 - 3(x + △x) + 5 - x2 + 3x - 5
y' = lim -------------------------------------------
△x->0 △x
2 x △x + △x2 - 3△x
= lim -----------------------
△x->0 △x
= lim ( 2x + △x - 3) = 2x - 3
△x->0
4) _______
함수 y = √ x + 3 의 x = 6 일 때의 미분 계수를 계산하여 보는
간단하고 쉬운 문제 입니다.
[풀이]
______________ _______
√ x + △x + 3 - √ x + 3
y' = lim -----------------------------
△x->0 △x
_____________ ________
= lim 1 / ( √ x + △x + 3 + √ x + 3 )
△x->0
_______
= 1 / ( 2 √ x + 3 )
따라서, x = 6 일 때 미분 계수는 1 / 6
1 2 3 4 5
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