교수: Gilbert Strang |
이 글에서는 매트릭스의 곱셈과 인버스 매트릭스를 을 알아 보려 합니다.
매트릭스에서 덧셈은 각각의 요소들을 더하면 되는 것입니다.
그런데 매트릭스에서 곱셈을 할 때, 어떻게 해야 할까요?
그냥 주어진 매트릭스의 각 요소들을 그냥 곱하면 되는 것일까요?
아닙니다. 매트릭스에서는 특별하게 곱셈을 합니다.
그럼 어떻게 특별하게 곱셈을 할까? 매트릭스에서 그 곱셈을 정의하여
보겠습니다.
매트릭스가 이렇게 주어져 있다고 합시다.
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ 2 1 │ │ x │ │ 4 │
│ │ │ │ = │ │
│ 1 3 │ │ y │ │ 7 │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
A x = v
그런데 이것은 무엇이었습니까? 이것은 이퀘이션
2 x + y = 4
x + 3 y = 7
을 표현한 것 이었습니다. 즉, 주어진 이퀘이션에 대하여
각각은
┌ ┐
│ x │
[ 2 1 ] │ │ = 4
│ y │
└ ┘
┌ ┐
│ x │
[ 1 3 ] │ │ = 7
│ y │
└ ┘
입니다. 그러니까 첫째 행의 연산은
┌ ┐
│ x │
[ 2 1 ] │ │ = 4
│ y │
└ ┘
2 x + y = 4
이며 두번 째 행 [ 1 3 ] 을 생각하면 그것은
┌ ┐
│ x │
[ 1 3 ] │ │ = 7
│ y │
└ ┘
x + 3 y = 7
입니다.
따라서 매트릭스 A 와 벡터 x 의 곱셈은 매트릭스 A 를
행과 열로 나누어서 첫째 행 [ 2 1 ] 과 둘재 행 [ 1 3 ] 으로
생각할 수 있으니까
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ 2 1 │ │ x │ │ 4 │
│---------│ │ │ = │ │
│ 1 3 │ │ y │ │ 7 │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
2 x + y = 4
x + 3 y = 7
입니다.
그러면 이제 매트릭스의 곱셈을 직접 하여 봅시다.
매트릭스는 이렇게 주어졌다고 합시다.
┌ ┐ ┌ | ┐
│ 2 1 │ │ -2 | -1 │
│---------│ │ | │
│ 1 3 │ │ 6 | 3 │
└ ┘ └ | ┘
이제 이 행렬들의 곱셈을 합니다.
┌ ┐ ┌ ┐
│ 2 x (-2) + 1 x 6 2 x (-1) + 1 x 3 │ │ 2 1 │
│ │ = │ │
│ 1 x (-2) + 3 x 6 1 x (-1) + 3 x 3 │ │ 16 8 │
└ ┘ └ ┘
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ 2 1 │ │ -2 -1 │ │ 2 1 │
│ │ │ │ = │ │
│ 1 3 │ │ 6 3 │ │ 16 8 │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
그런데 두개의 행렬을 곱할 때 필요한 조건이 있습니다.
매트릭스 A1 과 A2 를 서로 곱한다 합시다.
A1 X A2
그런데 그럴려면 앞쪽의 A1 매트릭스의 열들과 뒤쪽의 A2 매트릭스의 행들이
서로 같아야만 하는 것입니다.
예를 들어서
A1 이 2 X 3 매트릭스 이고 A2 역시 2 X 3 매트릭스 인 경우
A1 이 3 X 2 매트릭스 이고 A2 3 X 2 매트릭스인 경우에
A1 이 2 X 3 이고 A2 역시 2 X 3 매트릭스 이면
A1 과 A2 를 서로 곱할 수 없습니다.
그러나 A1 이 2 X 3 이고 A2 3 X 2 매트릭스 이거나 아니면
A1 이 3 X 2 이고 A2 2 X 3 매트릭스 이면
A1 과 A2 는 서로 곱할 수 있습니다.
매트릭스의 차수
그런데 매트릭스를 곱했을 때, 그 결과 매트릭스의 차수는 어떻게 바뀔까요?
3 x 2 매트릭스 A 와 2 x 3 매트릭스 C 가 있다고 합시다. 그러면
매트릭스 A x C 는 3 x 3 매트릭스 입니다.
1 x 3 벡터 v1 와 3 x 2 매트릭스 A 가 있다고 합시다.
그러면 행렬 v1 x A 는 1 x 2 벡터 입니다.
( 조금 더 보다 자세한 설명과 내용은 링크한 레퍼런스 렉쳐 강의를
참고해 보세요. )
인버스 매트릭스
이제 인버스 매트릭스를 생각해 봅시다.
인버스 매트릭스는
A-1 A = A A-1 = I
인 매트릭스 입니다.
흔히들 이것을 간단히 대문자 I 로 표현 합니다.
즉, 인버스 매트릭스는 자기 자신의 매트릭스를 곱했을 때,
그것이 I 가 되게 만들어 주는 그런 매트릭스 입니다.
예를 들어
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ 2 1 │ │ a1 a2 │ │ 1 0 │
│ │ │ │ = │ │
│ 1 1 │ │ a3 a4 │ │ 0 1 │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
인 매트릭스가 있을 때 이것을 간단히 하면
A A-1 = I
입니다.
이 때, 인버스 매트릭스 A-1 는
┌ ┐
│ 1 -1 │
A-1 = │ │
│ -1 2 │
└ ┘
┌ ┐
1 │ a4 -a2 │
= --------------- │ │
a1 a4 - a2 a3 │ -a3 a1 │
└ ┘
입니다.
그런데 경우에 따라서 인버스 매트릭스는 없을 수 있습니다.
( 매트릭스를 구하는 기본적인 원리 이해는 레퍼런스 렉쳐 강의를 참고해
보세요. )