디터미넌트 오브 매트릭스

        
        이제 매트릭스에 대한 디터미넌트의 성질에 대해 알아보겠습니다. 
        
        2차 매트릭스에서 디터미넌트는
        
              ┌       ┐
              │ a   b │
          A = │       │
              │ c   d │
              └       ┘
        
        일 때, 
        
            det(A) = |A| = ad - bc 
            
        로 정의합니다.
        
        
        디터미넌트는 다음의 성질을 가졌습니다.
        
        
            det(I) = 1 
            

        행을 교환 했을 때, 그 때의 디터미넌트는 원래 매트릭스에
        
        -1 배 입니다.
        


        그래서 
        
                    │ 1   0 │
          det(I1) = │       │ = 1
                    │ 0   1 │
        
                    │ 0   1 │
          det(I2) = │       │ = -1
                    │ 1   0 │
                    
                    
        입니다. 그리고
        
              
                      │ 1   2 │                  │ 3   4 │
            det(A) =  │       │        det(B) =  │       │
                      │ 3   4 │                  │ 1   2 │
        
        일 때,
        
            det(A) = 4 - 6 = -2
        
            det(B) = 6 - 4 = 2 = - det(A)
            
        입니다.
        
        
        그리고 어떤 매트릭스 A 의 하나의 행에 컨스턴트를 c 를 곱했을 때
        
        디터미넌트는
        
        A 의 디터미너트의 c 배와 같습니다. 즉,
        
            det(cA) = c x det(A)
            
        입니다.
        
                          │ na   nb  │      │ a   b │
                det(A) =  │          │ =  n │       │
                          │ c     d  │      │ c   d │   


        한편


                      │ a1 + a2   b1 + b2 │    │ a1   b1 │   │ a1   b1 │
            det(A) =  │                   │ =  │         │ + │         │
                      │    c        d     │    │  c    d │   │  c    d │      
    
        
        입니다.
        
        
        그런데 
        
                det(A + B ) ≠ det(A) + det(B)
                
        입니다.
        
        
        
        
        어떤 매트릭스의 두 행이 같다면 디터미넌트는 = 0 입니다.
        

        그리고 어떤 행의 각 원소에 대하여 다른 어떤 행을 n  배하여 
        
        그 원소들을 각각 뺐을 때,
        
        디터미넌트에 변화는 없습니다.
        
            | a   b |
            |       |
            | c   d |
            
        에서 
            
            |   a       b    |    | a  b |      |  a   b |
            |                |  = |      |  + n |        |
            | c - na  d - nb |    | c  d |      |  a   b |
            
            
            
        
        어떤 행이 zero 로 되어 있을 때 디터미넌트는 0 입니다.
        
            | 0   0 |
            |       |  = 0
            | c   d |
            
            | a   b |
            |       |  = 0
            | 0   0 |
            
        
        
        
        Upper trianglar matrix 에 대하여
        
        디터미넌트는 대각 원소들의 곱입니다.
        
        
        
        
        어떤 매트릭스가 Singular 일때, 디터미넌트는 0 입니다.
        
        
        어떤 매트릭스가 인버터블 일때, 디터미넌트는 없습니다.
        
        
        
        
        det(AB) = det(A) x det(B)    
        
        det(A-1) = 1 / det(A)
        
            
            A-1A = I 
            
            det(A-1)det(A) = 1
        
        
            det(A') = det(A)
        
        
        
        |A'| = |A| 인 것을 증명하시오.
        
        A = LU 라 합시다.
        
        그려면
        
            |A'| = |A| 
            
        를
        
            |U'L'| = |LU|
            
        으로 쓸 수 있습니다.
        
        매트릭스의 곱의 디터미넌트는 각각의 디터미넌들의 곱 이므로
        
            |U'||L'| = |L||U|
            
        입니다.
        
        그런데 
        
            det(U') det(L') = det(L) det(U)
            
        즉,
            det(L')det(U') = det(L) det(U)