과목 : Math 2B. Calculus. Lecture 12 | 교수 : Ph.D. Natalia L. Komarova |
다음과 같이 주어진 함수에 대하여 그 값을 계산하여 봅시다.
인테그랄 √(a2 - x2) dx
이러한 적분에 있어서 그 값을 계산하기 위해서 어떻게 해야 할까요?
그것은 바로 삼각함수를 써서
x = a 싸인(t)
로 치환하는 것입니다.
이러한 적분을 직접 계산하는 일은 실은 매우 어렵습니다. 그러나
이렇게 삼각함수로 치환하여 계산하면 이 문제를 비교적 간단하게
풀 수 있습니다.
그러면 주어진 문제를 치환하여 봅시다. 그러면,
x2
= { a 싸인(t) } 2
= a2 싸인2(t)
입니다. 그래서 루트 안의 값은
a2 - x2
= a2 - a2 싸인2(t)
= a2 { 1 - 싸인2(t)}
입니다.
이제 x = a 싸인(t) 를 미분하면 그것은
dx = a 코싸인(t) dt 이므로,
∫ √(a2 - x2) dx
= ∫ a √{ 1 - 싸인2(t)} a코싸인(t) dt
= a2 ∫ √{ 1 - 싸인2(t)} 코싸인(t) dt
라 쓸 수 있습니다.
뭐가 이렇게 복잡할까요? 문제가 더 복잡해진 것 같습니다.
그러나
1 - 싸인2(t) = 코싸인2(t)
인 것을 생각하면 간단하게 바꿀 수 있습니다.
a2 ∫ √{ 1 - 싸인2t} 코싸인(t) dt
= a2 ∫ 코싸인2(t) dt
그런데 이제 문제가 있습니다.
그 문제는 코싸인2(t) 를 바로 적분할 수 없다는
것입니다.
어떻게 코싸인2t 를 적분할 수 있을까요?
코싸인2t 을 어떻게 적분해야 할까요?
그러나 방법이 있습니다.
1 + 코싸인(2t)
코싸인2(t) = -----------------------
2
를 이용하는 것입니다.
= ( a2 / 2) ∫ 1 + 코싸인(2t) dt
입니다. 이제 이 문제를 풀 수 있을 것 같습니다.
그러면 이제 여러분들이 직접 풀어보세요.
이를 적분하면
(a2/2) t + (1/4) a2 싸인(2t) + C
입니다.
그런데 참고적으로 이 결과를 x 로 다시 치환할 수 있습니다.
(a2/2) t + (1/2) a2 싸인t 코싸인t + C
= (a2/2) 아크싸인(x/a) + (x/2)√(a2-x2) + C