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Professor Richard Delaware
Lecture 27: Theorem of Calculus.

    닫힌구간 [p1, p2] 에서 함수 y(x) 가 연속이고,
    
        Y'(x) = y(x) 
        
    라 가정 합니다.
    
    이때, y 의 원시함수 Y(x) 는 연속이고 미분 가능하며
    
    함수 y(x) 를 적분한 함수 입니다.
        
    
    그런데 구간 [p1, p2] 에서
    
        p1 = x0
        p2 = xn
        
    이라 하면
    
         
        p1  x1  x2  ...  xk   ...          xn-1    p2 
        = x0                                     = xn
    
    으로 할 수 있습니다. 
    
    그리면 k 에 대하여
    
                   xk-1 - xk = △xk
        
    입니다.   
        
    그리하여 원시함수 Y에 대하여
    
    
                                Y(xk) - Y(xk-1)
            Y'(xk*) = ---------------------------
                                 xk - xk-1
        
    생각할 수 있습니다. 
    
    (조금 더 자세한 설명은 렉쳐 강의 링크를 확인하세요.)
    
    그래서
    
        Y'(xk*) ( xk - xk-1 )
        
        = Y(xk) - Y(xk-1)
        
    이므로
        
        y(xk*)  △xk
        
        = Y(xk) - Y(xk-1) 
         
    입니다.
    
    그런데 k 의 값이 1 에서 n 으로 변할 때 
    
    그 값들의 변화를 살펴보면
       
        함수(x1*)  △x1
        
            = 원시함수(x1) - 원시함수(p1) 
        
        함수(x2*)  △x2
        
            = 원시함수(x2) - 원시함수(x1)
        
        
        ......
        
        
        함수(xn*)  △xn
        
            = 원시함수(xn) - 원시함수(xn-1  ) 
        
    
    입니다. 그러면 이제 이것들을 변변 더해봅시다.

    그러면 함수(xk*)  △xk 의 합은
    
        
         원시함수(p2) - 원시함수(p1) 
         
         
    입니다.
    
    따라서  △xk -> 0 일때 극한 합을 구하면 그것은
        
    
         p2
        ∫   함수(x) dx 
         p1
        
    입니다.
    
    
    어떤 원시함수 Y(x) 가 닫힌 구간 [p1, p2] 에서 연속이고,
         
    구간 [p1, p2] 에서 원시함수'(x) = 함수(x) 이면


         p2
        ∫   함수(x) dx  = 
         p1
                          p2
        =   원시함수(x) ] 
                          p1
        
        = 원시함수(p2) - 원시함수(p1)

    
    입니다.