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순간 변화율을 정의하여 봅시다.
이재 순간 변화율을 어떻게 정의할 수 있을까요?
앞서 제기했던 물음에 대하여 생각하여 볼 때
이러한 물음들이 실은 그렇게 쉬운 그런 물음은
아닐 수 있을 것입니다.
"글쎄 그것이 무슨 말이죠?"
"순간 변화율 조차 이해를 못했는데 이제 우리더러
그것을 정의를 하라구요?"
네, 그렇습니다. 이런 물음들은 실은 어려운 물음들 입니다.
그러나 여러분들은 이런 물음들을 충분하게 답을 할 수 있다!
그렇게 생각하는 것입니다.
왜냐하면 이미 여러분들은 알고 있기 때문입니다.
앞선 물음의 답을 하여 보자면 그것은 이럴 것입니다.
x 의 값이 a 에서 a + △x 로 이렇게 △x 만큼 변할 때,
△x 의 값이 작아져서 a 로 수렴한다면, 그러면
y 의 값 그것은 역시 yx=a 에 수렴할 것입니다.
그런데 이것은 실은 당연한 논리입니다.
그렇다면 이제 순간 변화율의 정의를 어떻게 하면 좋을까요?
라는 문제를 생각하여 보려 합니다.
이미 말했듯이 순간 변화율의 정의를 내리는 것은 실은
말 그대로 쉬운 일만은 아닌 것입니다.
그러나 수학에서 극한의 개념을 배우면서 미적분학을 배우는 학생들
(아니면 이미 배웠을 학생들) 이라면 이렇게 말할 수 있을 것입니다.
"그것이 쉬운게 아님 뭐야? 그것은 간단 하잖아요?"
"수학에서 순간 변화율 만큼 쉬운게 어디있다구요?"
라면서 말입니다.
네, 여러분들은 그것을 이미 학교 다니면서 배웠으니까
그것은 간단하다!
그렇게 말할 수 있는 것입니다.
아니라구요? 학교 아니라 학교 다니기 훨씬 앞서
나중에 닥터 하고 싶어서 이미 학원에서 이미 배웠다구요?
닥터 하려면 미적분을 먼저 배워야 하다니...
정말 대단들 하시군요!
네, 어쨌든 그렇게 배웠습니다.
그러나 순간 변화율의 개념을 아무런 배운 것 없이
그것을 정의하는 것은 다른 문제입니다.
수학에서 이미 정의를 그렇게 간단하게 내렸기 때문 입니다.
그것이 무슨 말이죠?
그 간단한 정의를 여러분들은 배웠을 뿐입니다.
그것의 간단한 정의를 여러분들이 배운 적이 없었다면
순간 변화율의 정의를 여러분들은 결코 정의 내릴 수 없을 것입니다.
그런데 아니라구요?
그것이 아니라면 그것은 대단하군요!
여러분들은 아이작 뉴튼이나 천재 수학자 가우스?
뭐, 그 같은 천재소리 듣는 수학자들 입니까?
그런 일을 하는 것은 보통 수학자들이 하는 일인데
그러나 여러분들은 수학자가 아닙니다.
그러니까 실은 이 같은 정의를 내릴 수 없어도 괜찮은 것입니다.
여러분들의 수준이 수학자가 아니니까 말입니다.
그러니까 어쨌든 여러분들이 그것을 할 수 있기 위해서는
수학적으로 이미 통달해 있거나 어떤 수학적인 센스들이
있어야 가능할 것입니다...
그러니까 여러분들은 그들이 이미 만들어 놓은 것들을 그냥
쉽게 배우고 있는 것인 것입니다...
어쨌든, 그것은 뉴튼과 같은 수학적 천재들에 의해서 그렇게 간단하게
정의를 내렸기 때문에 여러분들이 그렇게 간단하게 볼 수 있는 것 뿐입니다.
그러니까 간단한 정의를 배웠기 때문에 그것은 간단하다 말할 수 있군!
이렇게 생각해야 하는 것이다 그 말입니다.
어쨌든!
여러분들은 어떤 주어진 함수 y = f(x) 에서
x 의 증분에 대한 y 의 증분의 비, 그러니까 △x 에 대한 △y 의
극한값을 생각해 볼 수 있을 것입니다.
그것은 바로 주어진 어떤 함수 y 에 대하여 x 의 값이 a 에서
a + △x 로 △x 만큼 변화 할 때, △x → 0 인 x = a 의 극한값인
것입니다. 즉,
△y f(a + △x) - f(a)
lim --- = lim -------------------
△x→0 △x △x→0 △x
입니다. 이것이 순간 변화율 입니다.
정말 간단하죠?
그러니까 어떤 구간 [ a, a + △x ] 에서 x 의 값이 a 에서 a + △x
로 변화할 때, △x → 0 으로 수렴하는 x = a 에서의
y 의 변화량 △y 를 x 의 변화량 △x 로 나눈 것의 극한값
을 순간 변화율이라 합니다.
이것을 다른 말로 바꾸어 쓸 수 있는데 그것을 미분 계수라 그렇게
말하는 것입니다.
어때요 순간 변화율과 미분 계수 이것이 어려웠나요?
아니죠? 쉬웠죠? 그렇죠?
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