순간 변화율의 의미

그러면 순간 변화율에는 어떤 의미가 담겨 있는 것일까요?

어떤 구간 [ a, a + △x ] 안에서 어떤 주어진 함수 y 에 대하여

x 의 값이 a 에서 a + △x 로 변한다 합시다.

이 때, △x -> 0 으로 수렴하는

x = a 에서의 함수 y 의 순간 변화율을 생각하여 보면

그것은 바로 점 Q 에 접하는 접선의 기울기와 같은 것입니다.

그것을 간단하게 그려 보겠습니다.

.
.
. .
Q*
-------|--|--------------------------->x
a a + △x

x = a 에서 주어진 함수 y 의 어떤 점이 Q 라 한다면

순간 변화율 이라는 것은 x = a 일 때 점 Q 에 접하는 접선의 기울기

인 것입니다.

그러면 이제 실제로 어떤 특정 함수들에 대하여 그 순간 변화율을

어떻게 계산할 수 있을까에 대해서 생각하여 보겠습니다.

간단하게 예를 들어서 설명하여 보겠습니다.

다음 예를 살펴 봅시다.

[예제]

함수 y = x² 에 대하여 x = 3 에서의 순간 변화율을 구하시오.

x = 3 에서의 순간 변화율을 찾는 것이므로

이 때 x 의 값은 3 에서 3 + △x 로 변한다 합시다.

물론 △x->0 이라 할 수 있습니다.

그러면 함수 y = x² 에서 x 의 값이 3 에서

3 + △X 로 변하는 순간 변화율은

△y (3 + △x)² - (3)²
lim --- = lim ------------------
△x->0 △x △x->0 △x

입니다. 그러므로 그 값을 계산하여 보면

9 + 6 △x + △x² - 9
= lim ---------------------- = 6
△x->0 △x

입니다.

그런데 이것은 x = 3 일 때, 접선의 기울기를 구하는 것입니다.

즉, 점 (3,9) 에 접하는 접선의 기울기인 것입니다.

그런데 극한을 아직 안 배운 학생들에게 이런 물음이 생길 수 있습니다.

"어떻게 △x 를 나눌 수 있죠?"

"왜 나눌 수 없을까요?"

"그것은 0 으로 수렴한다 했잖아요?"

"네, 수렴한다 했습니다."

"그럼 그 값은 0 아닙니까? 0 으로 수렴하니까요."

"그것은 0 으로 수렴합니다. 그러나 그 값은 0 이 아닙니다."

"아뇨, △x->0 일 때, 그 극한값은 0 잖아요? 그러니까

궁극적으로 △x = 0 아닙니까?"

"네, 아닙니다. △x 의 극한 값은 0 이 맞습니다.

그러나 △x 는 0 이 아닙니다."

"그럼 무엇이죠, △x ?"

"그것은 0 보다는 크면서 그러나 0 에 가까이 어프로치하는

그런 스테이트를 말하는 것입니다."

"..."