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순간 변화율의 기하학적 의미
순간 변화율의 의미
그러면 기하학적으로 볼 때, 순간 변화율에는 어떤 의미가 담겨 있는 것일까요?
어떤 구간 [ a, a + △x ] 안에서 어떤 주어진 함수 y 에 대하여
x 의 값이 a 에서 a + △x 로 변한다 합시다.
이 때, △x -> 0 으로 수렴하는
x = a 에서의 함수 y 의 순간 변화율을 생각하여 보면
그것은 바로 점 Q 에 접하는 접선의 기울기와 같은 것입니다.
그것을 간단하게 그려 보겠습니다.
.
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. .
Q*
-------|--|--------------------------->x
a a + △x
x = a 에서 주어진 함수 y 의 어떤 점이 Q 라 한다면,
a 에서의 순간 변화율 이라는 것은 x = a 일 때 점 Q 에 접하는
접선의 기울기인 것입니다.
그러면 이제 실제로 어떤 특정 함수들에 대하여 그 순간 변화율을
어떻게 계산할 수 있을까에 대해서 생각하여 보겠습니다.
이것은 보다 간단하게 설명하기 위하여 아주 쉬운 예를 들어서 설명하여
보겠습니다. 그러면 이해하기 훨씬 더 쉬울 것입니다.
다음의 예제를 조금 살펴 보도록 합시다.
[예제]
함수 y = x2 에 대하여 x = 3 에서의 순간 변화율을 구하시오.
이 예는 주어진 함수에 대하여 x = 3 에서의 순간 변화율을 찾는 것입니다.
x = 3 에서의 순간 변화율을 찾아야 하는 것이므로
이 때 x 의 값은 3 에서 3 + △x 로 변한다 합시다.
물론 △x -> 0 이라 할 수 있습니다.
그러면 함수 y = x2 에서 x 의 값이 3 에서
3 + △X 로 변하는 순간 변화율은
△y (3 + △x)2 - (3)2
lim --- = lim ------------------
△x->0 △x △x->0 △x
입니다. 그렇죠? 그러므로 이 값을 계산하여 보면
9 + 6 △x + △x2 - 9
= lim ---------------------- = 6
△x->0 △x
입니다. 계산하는데 특별히 어려울 것은 없을 것입니다.
그런데 이것은 무엇입니까? x = 3 일 때, 접선의 기울기를 구하는 것과
같은 것입니다. 즉, 점 (3,9) 에 접하는 접선의 기울기인 것입니다.
정말 쉽죠?
그런데 접선의 기울기 어떻게 구하죠?...
네, 아직 안 배웠나요?
그러면 조금 어려울 수 있겠군요...
그러나 안 배워도 어려울게 없을 것입니다.
배우면 되니까요. 그렇죠?
그런데 극한을 아직 안 배운 학생들에게 이런 물음이 생길 수 있습니다.
"어떻게 △x 를 나눌 수 있죠?"
라구요.
"왜 나눌 수 없을까요?"
"그것은 빵으로 수렴한다 했잖아요?"
"네, 수렴한다 했습니다."
"그럼 그 값은 빵 아닙니까?"
"왜 그렇게 생각하죠?"
"그것은 빵으로 수렴하니까요."
"빵으로 수렴하면 나눌 수 없나요?"
"물론 입니다."
"그렇습니다. 그것은 빵으로 수렴합니다.
그러나 그 값은 빵이 아닌 것입니다."
"그것이 빵이 아니라구요?"
"네, 아니에요, 빵"
"아니죠! 델타 엑스는 빵으로 어프로치 할때, 그 극한값은 빵 이잖아요?
그러니까 궁극적으로 델타 엑스는 빵 아닙니까?"
"네, 아닙니다. 물론 델타 엑스의 극한 값은 빵이 맞습니다.
그러나 델타 엑스는 빵이 아닙니다."
"그럼 무엇이죠, 델타 엑스?"
"그것은 빵 보다는 크면서 그러나 빵에 가까이 어프로치하는
그런 스테이트를 말하는 것입니다."
"..."
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