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미적분학의 기초 이론 II
다음으로 미적분학의 기초 이론 II 를 설명하고 그것이 성립하는 것을
보이겠습니다.
미적분학의 기초 이론 II 는 이것 입니다. 즉,
어떤 함수 y 가 닫힌 구간 [p1, p2] 에서 연속이면,
p2
∫ y(t) dt = Y(p2) - Y(p1)
p1
이때, y 의 원시함수 Y 는 함수 y 를 적분한 함수 입니다.
이제,
x
y1(x) = ∫ y2(t) dt
a
이면 y1'(x) = y2(x) 이다.
⇔
함수 y1 은 함수 y2 를 적분한 함수
인 것을 이용하여 기초 이론 II 가 성립하는 것을 보이겠습니다.
어떤 함수에 대하여 그 적분이라는 것은
원시 함수 = 함수 + C
의 형태로써 주어집니다.
그러므로 앞에서 주어진 원시 함수들 즉,
Y(p2) - Y(p1)
에 대하여 그 값을 Y 를 y1 을
이용하여 다시 써보면
y1(p2) + C - y1(p1) - C
으로 쓸 수 있습니다.
그런데 이 때 y1(p1) 을 y(t) 의 형태로 다시 써보면
p1
y1(p1) = ∫ y(t) dt = 0
p1
이므로 그 값은
y1(p2) + C - 0 - C
= y1(p2)
입니다.
그런데 이 때 y1(p2) 를 y(t) 의 형태로 다씨 써보면
p2
y1(p2) = ∫ y(t) dt
p1
입니다. 따라서
Y(p2) - Y(p1)
p2
= ∫ y(t) dt
p1
즉,
p2
∫ y(x) dx
p1
입니다.
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