다 같이 평균 변화율을 정의하여 봅시다.

x 의 값이 a 에서 a + △x 로 '델타 엑스' 만큼 변화 할 때

함수 y 의 값은 어떻게 변화 할까요?

(이 글에서 씌이는 기호 '△', 이것이 실은 일반적으로 쓰이는 그리스 문자
'델타' 기호는 아닙니다. 그러나 기호 입력이 너무 어려워서 비슷한
기호 '△' 로 그냥 썼습니다. 그러니까 그냥 '델타' 라고 생각합시다.)

이런 물음에 대하여 여러분들은 쉽게 답할 수 있습니까?

물론 여러분들이 고교 과정의 미적분학 과정을 이수 하였다면

이 물음에 물론 쉽게 답할 수 있을 것입니다.

그러나 초,중 과정에 있는 학생들에게는

이 물음이 조금은 어렵게 보이거나 그렇게 느낄 수 있습니다.

그러나 이 물음에 대하여 그렇게 어렵게 생각할 필요는 없습니다.

이 물음의 필요한 답은 그렇게 어려운 것이 아니라 실은 간단한 것이기

때문 입니다. 그것은 초, 중학교 학생 수준이라면 충분하게 답할 수

있을 것이라는 생각입니다.

그러니까 x 의 값이 a 에서 a + △x 로 이렇게 '델타 엑스' 만큼 변화 할 때,

y 의 값은 y_{x = a} 에서 y_{x = a + △x} 로 변화할 것입니다.

안 그러습니까, 여러분?

자, 여러분들이 이러한 기본적인 개념을 충분하게 이해하고 있으며

이해할 수 있다면 이제 여러분들은 평균 변화율을 충분하게 이해할

수 있습니다. 아니 여러분들이 보다 능력있는 사람이라면 그것을 이해

하는 수준을 넘어서 그것을 정의해 볼 수 있을 것입니다.

그러면 이제 다 같이 그것의 정의를 살펴 보겠습니다.

어떤 주어진 함수 y = f(x) 에 대하여 x 의 값이 변하는 값을

생각하여 봅시다. 즉, x 의 값은 a 에서 a + △x 로 그 변화량이

델타 엑스 △x 만큼 변화하는 값 입니다.

이 때 x 값의 변화량 즉, x 의 증분을 △x 라 쓰며

y 값의 변화량 즉, y 의 증분은 △y 라 씁니다.

그런데 왜 이렇게 쓸까요? 이렇게 하는 이유는 간단 합니다.

'x 의 증분', 'y 의 증분' 을 △x, △y 로 쓰면 x 의 증분과 y 의 증분들을

보다 더 쉽게 간단하게 표현할 수 있습니다.

그러면 x 값의 변화량을 x 의 증분이라 하며,

y 값의 변화량을 y 의 증분이라 했을 때

이제 여러분들은 다음과 같이 어떤 주어진 함수

y = f(x) 에서 x 의 증분 △x 에 대한 y 의 증분 △y 의 비를

생각할 수 있을 것입니다.

△y f(a + △x) - f(a)
--- = -------------------
△x △ x

이것이 바로 평균 변화율의 정의 입니다.

그러니까 이것을 다시 정리하여 본다면 평균 변화율이라는 것은

주어진 어떤 함수 y 에 대하여 어떤 구간 [ a, a + △x ] 에서

x 의 값이 변할 때 즉, a 에서 a + △x 로 변화할 때

y 의 변화량 △y 를 x 의 변화량 △x 로 나눈 것

이라는 그런 말 이었습니다.

어때요 평균 변화율 정말 쉽죠? 그렇죠?

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