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재미있게 풀어보는 평균 변화율의 문제들
이것은 간단한 문제들의 문제와 그 풀이 입니다.
각각의 주어진 문제 풀이들을 여러분들이 직접 푼것과 서로 비교하면서
확인해 보십시오.
그렇게 다음의 풀이를 확인해 보면서 여러분들은 평균 변화율을 보다
확실하게 익힐 수 있을 것입니다.
1) 번과 2) 번 문제는 평균 변화율의 정의를 이용하여 단순하게
그 값을 계산하는 문제들 입니다.
그러니까 여러분들한테 쉬운 문제일 것입니다.
잘 풀어 봅시다!
1) 번 문제와 그 풀이
x 의 값이 1 에서 3 으로 변할 때, 다항함수 y = x2 + 5x + 2 의
평균 변화율을 구하시오.
[풀이]
△y f(3) - f(1) ( 9 + 15 + 2 ) - (1 + 5 + 2)
--- = ------------ = ------------------------------ = 9
△x 3 - 1 2
2) 번 문제와 그 풀이
x 의 값이 3 에서 5 로 변할 때, 함수 y = 2x + 3 의
평균 변화율을 구하시오.
[풀이]
△y f(5) - f(3) ( 10 + 3 ) - ( 6 + 3)
--- = ------------ = ------------------------- = 2
△x 5 - 3 2
3) 번 문제는 평균 변화율 문제을 약간 응용한 것입니다.
그러니까 여러분들한테 어려울 것이 없는 그런 문제들일 것입니다.
x 의 값이 a 에서 a + 2 로 변할 때의
함수 y 의 평균 변화율이 6 으로 주어졌을 때,
그때의 x 의 값 a 를 구하는 문제 입니다.
3) 번 문제와 그 풀이
x 의 값이 a 에서 a + 2 로 변할 때 함수 y = x ( x + 2 ) 의
평균 변화율이 6 이라 합니다. 이때 a 의 값을 구하시오.
[풀이]
y = x ( x + 2 ) 의 평균 변화율을 계산하여 보면
△y (a + 2)(a + 4) - a (a + 2)
---- = ----------------------------- = 2a + 4
△y 2
입니다. 그런데 이 평균 변화율이 6 이라 했으므로
2a + 4 = 6, 2a = 2
따라서 구하는 값 a = 1 입니다.
4) 번 문제는 3) 번 문제와 비슷한 유형입니다.
다른 것이 있다면 x 의 범위 값에 대하여 그 조건이 주어졌을 뿐입니다.
즉, 평균 변화율과 x 의 범위 값에 대하여 그 조건이 주어졌을 때
x 구간의 그 값을 구하는 문제입니다.
따라서 여러분들은 잘 풀 수 있을 것입니다.
4) 번 문제와 그 풀이
다항함수 y = x2 + 3x + 9 에 대하여 구간 [ a, c ] 에서의
평균 변화율이 6 이며 c = 2 a + 1 일 때 a, c의 값을 구하시오.
[풀이]
△y c2 + 3c + 9 - ( a2 + 3a + 9 )
---- = ---------------------------------
△x c - a
c2 - a2 + 3(c - a)
= ---------------------
c - a
(c - a)(c+a) + 3(c - a)
= -------------------------- = c + a + 3
c - a
입니다.
그런데 주어진 조건에서 평균 변화율이 6 이라 했으므로
c + a + 3 = 6 입니다.
이제 c + a = 3 와 c = 2 a + 1 을 연립하여 풀면 됩니다.
2 a + 1 + a = 3 이므로 3 a = 2,
따라서 a = 2/3, c = 7/3 입니다.
어때요 이런 문제들 정말 쉽죠? 그렇죠?
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