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정적분의 연산 규칙
앞에서 정적분을 정의하였습니다.
그러면 그렇게 정의한 정적분을 어떻게 연산 할 수 있을까요?
이제 정적분의 연산 규칙에 대해서 설명하겠습니다.
점의 적분, 적분의 방향, 컨스턴트 c 가 있을 때,
덧셈과 뺄셈의 경우들을 각각 살펴 보겠습니다.
어떤 점에 대하여 그 점의 넓이는 무엇입니까?
점의 넓이는 0 입니다.
그러면 어떤 점에 대하여 그 점을 적분했을 때, 그 값은 무엇입니까?
그 값은 0 입니다.
그러므로 이것을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
즉,
p1
∫ 함수(x) dx = 0
p1
입니다.
적분 방향
그런데 적분 구간이 p1 과 p2 로 주어졌을 때에
p1 과 p2 의 순서를 바꾸면 어떻게 될까요?
그것은 결국은 넓이를 계산하는 것이니까,
그렇기 때문에 그것은 결과적으로 같은 것이 아닐까요?
뭐 그 값이 같다 생각한다면, 그것은 같다고 생각할 수 있습니다.
p1 에서 p2 를 적분한 값과 p2 에서 p1 의 적분한 값은
(-) 의 값을 갖는 것을 제외 한다면 그 절대값은 같기 때문 입니다.
그러나 보통 일반적으로 정적분의 값을 계산 할 때에는
그것은 다른 의미로 쓰입니다.
그러니까 그냥 단순하게 넓이만을 생각하는 것은 아니기 때문에
그 적분 방향이 다를 때에는 반드시 다음과 같이 따져 줘야만 합니다.
즉,
p2 p1
∫ 함수(x) dx = - ∫ 함수(x) dx
p1 p2
입니다.
컨스턴트 c 가 있을 때의 적분
그런데 어떤 컨스턴트 c 에 대하여
p2 p2
∫ c ·함수(x) dx = c ∫ 함수(x) dx
p1 p1
이 성립합니다.
적분의 덧셈과 뺄셈
이제 더하는 경우, 적분의 덧셈을 살펴 보겠습니다.
함수1 과 함수2 를 더한 것을 적분하는 것의 값과
각각을 적분하여 더하는 것과는 그 값이 같습니다.
즉,
p2 p2 p2
∫ 함수1(x) + 함수2(x) dx = ∫ 함수1(x) dx + ∫ 함수2(x) dx
p1 p1 p1
입니다.
다음으로 뺄셈의 경우를 살펴 보겠습니다.
뺄셈의 경우에 있어서 역시 덧셈의 경우와 연산 방법이 같습니다.
즉, 함수1 에서 함수2 를 뺀 것을 적분하는 것의 값과 각각을
적분하여 빼는 것의 값은 같습니다.
즉,
p2 p2 p2
∫ 함수1(x) - 함수2(x) dx = ∫ 함수1(x) dx - ∫ 함수2(x) dx
p1 p1 p1
입니다.
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