MathValue

교수: Richard Delaware
Lecture 11: Basic Rules.

    
    이제 곱셈의 경우에 있어서 미분하는 방법을 살펴 보겠습니다.
    
    그런데 곱셈의 경우에는 미분을 어떻게 해야 할까요?
    
    그냥 덧셈과 뺄셈의 경우처럼 그렇게 그냥 하면 안될까요?
    
    각각을 미분하면서 말입니다...
    
    그러나 곱셈의 경우에는 그렇게 할 수는 없습니다.
    
    곱셈의 경우에는 다음과 같이 해야만 합니다.
    
        (Y1·Y2)' =  Y1'·Y2 + Y1·Y2'
    
    조금은 복잡하게 보일 수 있으나 실은 쉽습니다.
    
    
    
    그럼 곱셈의 경우에 있어서 미분하는 방법을 알아 보겠습니다.

    곱셈을 미분할 때에는 다음과 같이 미분해야만 합니다. 
    
    즉, Y1 과 Y2 가 어떤 함수일 때
    
        
         d                 d                      d
        --- { Y1 · Y2 } = --- (Y1) · Y2 + Y1 · --- (Y2) 
         dx                dx                     dx
    
    
    입니다.
    
    이것을 조금 더 쉽게 보다 간략하게 표현하면 이렇습니다.
    
    
        (Y1·Y2)' =  Y1'·Y2 + Y1·Y2'

    
    미분의 곱셈에 있어서 이것이 왜 그런가를 보이겠습니다.
    
        
        Y1·Y2 
        
    을 미분하는 것은 정의에 의하여 써보면
    
              Y1(x+t)·Y2(x+t) - Y1(x)·Y2(x)
        lim  ------------------------------
        t->0               t
      
    
    입니다. 그런데 이것은
    
            Y1(x+t)·Y2(x+t) - Y1(x+t)·Y2(x) + Y1(x+t)·Y2(x) - Y1(x)·Y2(x)
    = lim  -------------------------------------------------------------
      t->0                                 t
      
    
    과 같습니다. 이제 이것을 다시 써보면
    
                      Y2(x+t) - Y2(x)                 Y1(x+t) - Y1(x) 
        lim  Y1(x+t) -----------------  + lim  Y2(x) ----------------- 
        t->0               t              t->0               t 
      
    
    입니다. 그러니까 결국
                                   
        Y1(x) Y2'(s) + Y2(x) Y1'(x) 
        
    입니다. 따라서
    
        (Y1·Y2)' =  Y1'·Y2 + Y1·Y2'
        
    입니다.